Куцев родился в Приамурье в 1938 году. Он окончил Иркутский сельхозинститут и там же защитил диссертацию. Главной темой научных работ Куцева было улучшение системы высшего образования.
Геннадий Куцев занимался наукой и исследованиями в ВУЗах Москвы, Красноярска, Иркутска и Тюмени. В 1987 году он был назначен на пост замминистра по образованию. Спустя год - зампредседателя Госкомитета СССР по народному образованию.
ТюмГУ Куцев возглавил в 1992 году. В 2007 он был удостоен звания его президента. В общей сложности профессор проработал в вузе 30 лет.